游戏中的分配问题
我们经常遇到一类分配物品的题目,在这类题目中,将一些物品分给几个人,
每个人都得到整数个物品。而在有些题目中,经常出现有的人得到分数个物品的情
况,而此物品又是不可分割的,这就容易使人迷惑。其实,在解答这类问题时,如
果我们能换个思维方式,尝试一下逆向思维,往往能有惊奇的发现。
分月饼
中秋节到了,班级里买回了一箱月饼准备分给同学们。第1 个同学取走了1 块
月饼和剩余月饼的1/9 ,第2 个同学取走了2 块月饼和剩余月饼的1/9 ,第3 个同
学取走了3 块月饼和剩余月饼的1/9 ,第4 个同学取走了4 块月饼和剩余月饼的1/9,
依次类推,把全部月饼一点不剩地分配给了全部同学。
请问班级共有多少个同学,共有多少块月饼?
分析与解答
此题需逆向思考。
最后一个同学取走的月饼数目应与全班的人数相同。他前面一个同学取走全班
人数减1 块月饼和剩余月饼的1/9 。由此可知最后一个同学得到的是剩余月饼的8/9。
即,在最后一个同学取月饼的时候,剩余月饼应是8 的倍数。
假设最后一个同学取走的是8 块月饼。那么,全班共有8 个同学。第7 个同学
取走7 块月饼再加上剩余9 块月饼的1/9 共8 块月饼。第7 、第8 个同学一共取走
16块月饼,这应该是第6 个同学取走6 块月饼后剩余月饼的8/9 。我们可以得到第
6个同学取走6块月饼后剩余的月饼数为16/ (8/9 )=18 。第6 个同学取走的月饼
数为6+18/9=8 。
第5 个同学取走5 块月饼后剩余月饼的8/9 为8+8+8=24块。则第5 个同学取走
5块月饼后剩余的月饼数为24/(8/9 )=27 块。第5 个同学共取走5+27/9=8块月饼。
第4 个同学取走4 块月饼后剩余月饼的8/9 为8+8+8+8 =32 块。则第4 个同学
取走4 块月饼后剩余的月饼数为32/ (8/9 )=36 块。第4 个同学共取走4+36/9=8
块月饼。
第3 个同学取走3 块月饼后剩余月饼的8/9 为8+8+8+8+ 8=40 块。则第3 个同
学取走3 块月饼后剩余的月饼数为40/ (8/9 )=45 块。第3 个同学共取走3 +45/9=8
块月饼。同样,第2 、第1 个同学也分别取走8 块月饼。
综上所述,每个同学都取走8 块月饼。因此,共有8 个同学,64块月饼。
分苹果
小咪家里来了5 位同学。小咪的爸爸想用苹果来招待这6 位小朋友,可是家里
只有5 个苹果。怎么办呢?只好把苹果切开了,可是又不能切成碎块,小咪的爸爸
希望每个苹果最多切成3 块。这就成了又一道题目:给6 个孩子平均分配5 个苹果,
每个苹果都不许切成3 块以上。
小咪的爸爸是怎样做的呢?
分析与解答
苹果是这样分的:把3 个苹果各切成两半,把这6 个半边苹果分给每人1 块。
另2 个苹果每个切成3 等份,这6 个1/3 苹果也分给每人1 块。于是,每个孩子都
得到了一个半边苹果和一个1/3 苹果,6 个孩子都平均分配到了苹果。
半张唱片
张三和李四都热衷于解难题,他们的最大乐趣就是彼此用难题难住对方,或难
倒他们的朋友。
有一次,张三和李四经过一家唱片店。
这时,张三问李四:“你是不是还有西部乡村音乐的唱片?”
李四说:“没有了,我把我唱片的一半和半张唱片给了小赵。”
李四接着说:“然后我把我剩下的另一半,加上半张给了小吴。”
李四:“这样我就只剩下一张唱片了,如果你能告诉我原先我有几张唱片,我
就把这最后一张送给你。”
张三真的被难倒了,因为他实在想不出这半张唱片有什么用处!
你能帮他解决这个难题吗?
分析与解答
此题很容易使人掉入东西的一半再加上1/2 ,不可能等于一个整数的陷阱里。
如果走入这个迷宫,就难见天日了!
这题的关键在于:奇数唱片的一半,再加上半张唱片,正好是个整数。
由于李四最后一次送出唱片后剩一张。他在给小吴1 张之前,至少有3 张。3
的一半是,加上1/2 等于2 ,所以李四最后送出了2 张。现在很容易倒算回去,他
原先有7 张唱片。
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