赛尔伯格

    在菲尔兹奖的早期得奖者中，赛尔伯格在数学界活跃的时间相当长。他在40  
年代就崭露头角，1950  年得奖之后，又继续在许多分支上做出重要的工作。在本
世纪的数学史上（特别是数论史上），留下了一些以他命名的数学名词：赛尔伯格
不等式、赛尔伯格等式、赛尔伯格渐近公式、赛尔伯格筛法、赛尔伯格ξ函数、赛
尔伯格猜想……。

    赛尔伯格是一位挪威血统的美国数学家。1917  年6 月14  日，他生于挪威的
朗根松。赛尔伯格的全部教育都是在挪威国家内接受的。挪威，是一个产生过阿贝
尔这样伟大数学家的北欧国家，数学教育水平颇高。赛尔伯格在奥斯陆大学上学，
大学毕业后又留下当研究生。1943  年他获得了博土学位学位论文题为《论黎曼ζ
函数的零点》。这篇1942  年发表的长达59  页的论文使他崭露头角，其影响远远
超出了斯堪的纳维亚半岛。今天，每当人们谈到求证黎曼猜想这一难题的漫长历史
时，总还得提起这一成果。

    1959  年，黎曼提出了一个八页的论文《论小于给定数的素数个数》，其中包
含着好几个猜想。最著名的，就是迄今未获解决的“黎曼猜想”：

    ζ（  ）的所有其他零点的实部都是，即若ξ（  ）  ，则б＋  中б  。在
希尔伯特问题中，这个猜想是第八问题的核心。然S S = 0 s =it =1 2231 2 而从
1859  年算起，100 年过去了，这个问题仍然是一个未解决的超级难题。

    和其他一切困难问题一样，当人们无力从正面一下子加以解决时，就只好迂回
地分阶段地对付它。现在进攻黎曼猜想的一个重要途径，是比较N （T ）0 （T ）
和N ，这里N （T ）是矩形｛0 ＜t ＜T ，0 ≤б＜1 ｝中ζ（  ）的零点个数。
（  ）是线段｛  ＜  ＜  ，б  ｝上ζ（  ） S N T O t T = S 01 2 的零点个
数。黎曼猜想无非是说：对任何T ＞0 ，有N0（T ）=N（T ）0 由于上述线段是矩
形的一部分，N0（T ）≤N （T ）是显然的。于是黎曼猜想等价于要证：N0（T ）
≥N （T ）。

    赛尔伯格的博士论文，在这个方向上跨出了重要的第一步。他证明了：

    存在一个常数A ，使得N0≥ATlogT。这大体上相当于：N0（T ）≥A ·N （T ）。

    赛尔伯格并没有具体算出其中的A 是什么，事实上用他的方法得出的A 非常小。
离黎曼猜想所要求的A=1 还很远。但他的成果毕竟是开拓性的，并因此而载入史册。

    1942  年到1947  年间，赛尔伯格在奥斯陆大学作研究员。由于上述成果，他
的名声远扬国外。1947  年，赛尔伯格结了婚并应邀赴美，从此以后就一直留居美
国。

    赛尔伯格是1947  年到达普林斯顿的，并在1951  年成为普林斯顿高等研究院
的教授。普林斯顿高等研究院是美国也是世界上的一个著名研究院。第二次世界大
战期间及其后，这个研究院因为拥有爱因斯坦这样伟大的物理学家和外尔、冯·诺
意曼这样杰出的数学家，而成为享誉世界的科学中心。赛尔伯格是50  年代时这个
研究院数学方面的骨干之一。良好的环境，使他在这以后做出了多方面的成果。比
较早而有趣的，当推1949  年他给出的素数定理初等证明。

    勒让德和高斯曾经根据大量的具体数字材料猜测到，不超过自然数x 的素数个
数（记为π（  ），这是一个著名的数论函数）当π→  时与很接近。

    xxlogx￥即π（  ）～（  ）（π→  ）或ππ（  ）。xxlog xx  ￥? ￥=limlogxx1
这就是所谓的“素数定理”。过了将近100 年，这个定理才由阿达玛和达拉瓦勒布
桑分别独立地给出用到复变函数方法的证明。以后，维纳又给出了一个方法也不初
等的新证明。许多人怀疑这个定理最终是否会有初等证明出现。例如，英国解析数
论大师哈代1921  年在哥本哈根数学会发表讲演时就说过：虽然“断言一个定理肯
定不能用某种方法证明是轻率的”，但是素数定理的初等证明照他看来是格外不可
能的。“如果谁给出了素数定理的初等证明，那他就证明了（我们现在关于数论、
解析函数论中何谓深刻，何谓肤浅的）见解是错误的……，从而到了该丢掉一些著
作并重写理论的时候了。”在哈代说了这句话28  年以后，赛尔伯格和另一位同样
年轻的匈牙利数学家爱多士同时用初等方法证明了素数定理。他们俩人的证明都依
靠了同一个不等式——现在习称为赛尔伯格不等式，它的意义甚至超过了这个初等
证明。



    1950  年，战后的第一次国际数学家大会在美国坎布里奇举行。赛尔伯格成了
战后第一届菲尔兹奖的获得者之一。

    得奖以后，赛尔伯格的研究兴趣曾遍及多个主题。1952  年，他对布隆筛法作
出了重要的改进，克服了后者定出的上下界过于宽泛的缺点。1956  年，他写出了
《弱对称黎曼空间中的调和分析和不连续群及其对于狄里赫莱级数的应用》一文，
开拓了一个新的研究方向。从60  年代起，他的研究兴趣转向连续群的离散子群。

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