第二章
十九世纪初叶，数学家们开始探索不同于欧几里得几何的几何学。这些新几何
学得出了似乎荒谬的结果，但在逻辑上却没有矛盾。后来证明，非欧几何是与欧几
里得几何学一致的相关学问，只要欧几里得几何学在逻辑上没有矛盾，非欧几何也
就没有矛盾。
但要证明欧几里得几何学的一致性，这可难倒了数学家们。到了十九世纪末叶，
所取得的成就至多证明：只要算术在逻辑上没有矛盾，那么，欧几里得几何学就没
有矛盾。
开始的时候，雷内只觉得这是个有点恼人的小麻烦。当时她走下大厅，敲敲彼
得·法布里希办公室敞开的门。“彼得，有空吗？”
法布里希将座椅从办公桌往后推开。“当然有空，雷内，什么事？”
雷内走进去，心里知道他会有什么反应。以前她从来没有向系里任何人请教过
问题，都是别人向她请教。没有关系。“我想请你帮个忙。几周前我曾告诉你我正
在研究的体系，还记得吗？”
他点了点头，“你想用这个体系来改写公理系统。”
“正确。是这样的，几天前我开始得出十分可笑的结论，到现在我的体系也自
相矛盾起来。请你看一看，好吗？”
法布里希的表情在意料之中。“你想——当然可以，我很高兴——”
“太好了。问题就出在头几页的例子里，其余的供你参考。”说着她递给他薄
薄的一扎手稿，“我觉得如果让我给你从头到尾讲一遍的话，你可能会受我的引导，
只能得出和我相同的结论。”
“也许你说得对。”法布里希瞧了瞧头几页，“我不知道要多久才能看完。”
“不着急。如果有机会的话，只是看一看我的假设是否有模糊之处，诸如此类
的问题。我还会继续研究的，到时候会告诉你我是否想出了新东西。好吗？”
法布里希微笑道：“你准会今天下午就来，告诉我你已经发现了问题。”
“恐怕不会，这个问题需要我之外的另一副眼光。”
他摊开双手。“我试试吧。”
“谢谢。”法布里希不大可能充分理解她的体系，但她只需要某个人来检查公
式的细节问题就行了。
卡尔是在一位同事举行的一次聚会上与雷内相识的。他被她那张脸吸引住了。
那是一张异常平庸的脸，大多数时间不苟言笑，但在那次聚会期间他看见她微笑了
两次，皱了两次眉。看她笑时觉得她不会皱眉，看她皱眉时又觉得她不会笑。卡尔
很吃惊：他能够辨认出什么样的脸经常微笑，什么样的脸经常皱眉。但是对她那张
脸，他却捉摸不透。
他花了很长一段时间来了解雷内，读懂她的表情。不过，这无疑是值得的。
此时，卡尔坐在书房里的安乐椅上，膝盖上放着一本最新一期的《海洋生物学
》杂志，倾听雷内在客厅对面她自己的书房里揉皱纸张的沙沙声。整个晚上她都在
工作，可以听出她愈来愈焦躁不安。不过他进去察看时，她又板着平时那张没有表
情的脸，丝毫看不出什么来。
他将杂志放到一边，再次起身走到她的书房门口。只见书桌上摊开一册书，书
页上布满难以辨识的公式，点缀着用俄语写的评注。
她浏览着一些资料，难以觉察地皱皱眉，啪的一声合上。卡尔听见她嘀咕一声
“无用”，将书放回书架。
“这样下去你会弄出高血压的。”卡尔取笑道。
“别以我的保护人自居。”
卡尔吃了一惊，“我没有。”
雷内转身瞧着他，怒目相对。“我知道自己什么时候工作有效率，什么时候没
有。”
心一凉。“那么，我就不打扰你了，”他退了出去。
“谢谢”说完，她的注意力又回到书架上。卡尔离开了，心里竭力猜测她的瞪
视的含义。
在１９００年举行的国际数学大会上，大卫·希尔伯特⑤列出了二十三个悬而
未决的重大数学问题。他列出的第二大问题是请证明算术在逻辑上的一致性。这个
问题一旦证明，就将保证高等数学许多内容的一致性。就本质而言，这个证明所能
保证的是这一点：不可能证明一等于二。认为这个问题具有重大意义的数学家寥寥
无几。
法布里希还没有开口，雷内就知道他要说什么了。
“简直是我见过的最要命的东西。还不大会走路的幼儿玩的玩具是把不同断面
的积木嵌进不同形状的槽子，你知道吗？读你的形式体系，就好像观看一个人把一
块积木滑进木板上的每一个洞里，每一次都做得天衣无缝。”
“这么说来，你发现不了错误？”
他摇摇头。“发现不了。我滑进了和你相同的套路：只能用你的方法思考这个
问题。”
雷内却已经不在老套路上了：她另辟蹊径，想出了一条截然不同的路子来解决
这个问题，但却仅仅证明了原先的体系确实存在矛盾。“不过，还是谢谢你费心了。”
“你要另外找人看一看吗？”
“是的。我想我要寄给伯克利的卡拉汉看。自去年春天那次会议以来，我们一
直保持着联系。”
法布里希点了点头，“他上次发表的一篇文章真的给我留下很深的印象。如果
他发现了问题，请一定告诉我。我感到很好奇。”
雷内宁愿用比“好奇”更强烈的字眼来表达她自己的心情。
雷内对自己的研究感到绝望了吗？卡尔知道她从来不觉得数学真的困难，而只
是一种智力挑战。难道是她第一次遇到无法突破的难题吗？或者说，数学本身就是
无解的吗？严格说来，卡尔自己是一个实验主义者，并不真正懂得雷内怎么创造新
的数学体系。虽说听上去有点傻，但是——她是灵感枯竭了吗？
雷内是成年人，不会像神童那样，发现自己正在成为平庸的成年人而感到幻灭
的痛苦。另一方面，许多数学家在三十岁之前就达到事业的巅峰。虽然她离三十岁
还有几年，但也许她对这个年龄界限逼近自己而感到焦虑。
似乎不大可能，他又漫无边际地想了其他几种可能性。她会不会对学术感到愈
来愈悲观？是对自己的研究过于专业化而感到悲哀吗？再不然，纯悴是对自己的工
作感到厌倦了吗？
卡尔并不相信这些焦虑是雷内行为古怪的原因。果真是这样的话，他觉得自己
肯定会发现蛛丝马迹。但他现在得到的印象却全然不是这么回事。令雷内感到苦恼
的无论是什么，反正他猜不透。这使他感到烦恼。
１９３１年，库特·哥德尔⑥证明了两大定理。第一个定理实际上表明：数学
包含或许是真实的、但在本质上却无法证明的陈述。甚至简单如算术的形式系统也
可以包括精确，有意义，而且似乎真实无疑的陈述，但却无法用形式方法加以证明。
他的第二个定理表明：断言算术具有逻辑上的一致性，这就是上面所说的那种
陈述之一，采用算术公理的任何方法都不能证明其真实性。也就是说，作为一种形
式系统的算术无法保证不会得出１= ２这样的结果。这样的矛盾也许永远不会遇到，
但却无法证明绝对不会遇到。
卡尔再次走进雷内的书房。她站在书桌跟前，抬头看他。他鼓起勇气说：“雷
内，显然是——”
她打断她的话，“你想知道我烦恼的原因吗？好吧，我告诉你。”说着雷内便
拿出一张白纸，坐在书桌跟前，“等一下，这需要一点时间。”卡尔又张开嘴，但
雷内挥手示意他保持沉默。接着，她深深地吸了一口气，开始写起来。
她画了一条线，穿过纸的中央，将纸分成两栏。然后，她在一行的顶部写下数
字１，另一行的顶部写下数字２。接着在这两个数字下面迅速潦草地画一些符号，
又在这些符号下面的行列里把它们扩展成一串串别的符号。她边写边咬牙切齿，写
下那些文字时，感觉好像她正用指甲刮过黑板似的。
写到纸的三分之二左右时，雷内开始将长串长串的符号减少成连续的短串符号。
她心里想，现在要到关键处了。她意识到自己在纸上用力过重了，下意识地放松握
在手中的铅笔。在她下面写出的那一行上，符号串变成相等了。接着，她重重地写
了个“= ”号，横过纸的底部中心线。
她将纸递给卡尔。他望着她，表示看不懂。“看一看顶部吧。”他照办了，
“再看一看底部。”
他眉头紧锁。“我还是看不懂。”
“我发现了一种体系，可以使任何数字等于任何别的数字。这张纸上就证明了
一和二是相等的。你随便挑两个数字，我都可以证明它们是相等的。”
卡尔似乎竭力在回忆什么。“里面肯定出现了以零为被除数的情况，对吗？”
“不对。没有不符合规则的运算，没有不严谨的术语，没有想当然假定的独立
公理，全都没有。证明过程绝对没有采用任何规则禁止的东西。”
卡尔摇了摇头。“等一下。显然一和二是不相等的。”
“但在形式上它们是相等的：证明就在你手里。我使用的一切方法都是绝对无
可争议的。”
“但这儿不就是矛盾吗？”
“说对了。也就是说，算术作为一种形式系统，是不一致的。”
“你找不出错误来，这就是你的意思吗？”
“不对，你没有听。你以为我是因为这种情况才焦头烂额的吗？证明本身并没
有错误。”
“你的意思是说，用的方法都是对的，结果却出了错？”
“正确。”
“你肯定——”他戛然而止，却太晚了。她瞪着他。她当然清楚他想说的是什
么。不知她的目光是什么意思。
“你懂吗？”雷内道，“我已经推翻了大半个数学：这门学问全都没意义了。”
她焦躁起来，几乎快发疯了。卡尔小心翼翼地选择着字眼，“你怎么能这么说？
数学仍然有作用。科学和经济并不会因为你这个领悟而突然崩溃的。”
“这是因为他们使用的数学纯粹是骗人的把戏。是一种口诀式的小玩意儿，跟
用指关节来计算哪些月份有三十一天一样。”
“不一样。”
“为什么不一样？现在，数学与现实绝对毫无关系。且不说像虚数或者无穷小
数之类的概念，现在，就连该死的整数加法都跟用指头计算毫无关系。你用指头计
算，一加一始终等于二，但在纸上我可以给你无穷多的答案，这些答案全都同样有
效，这意味着它们全都同样无效。我可以写出你见过的最优美的定理，但它却不过
是一个瞎扯淡等式。”她苦笑起来，“实证主义者曾经说一切数学都是同义反复。
他们错了：数学是自相矛盾。”
卡尔试了试另一种方式。“等一下。刚才你提到虚数这类想像出来的概念，大
家不也一样接受了吗？现在不也可以这样吗？数学家们曾经相信虚数没有意义，可
是现在它们成了数学的基础概念。情况完全是一样的呀。”
“不一样。当时的解决方法只是扩展语境，用在这里不起作用。虚数给数学增
添新的内容，而我的形式系统却是给已经存在在那里的东西下定义。”
“但是，如果你改变语境，从不同的角度探索——”
她翻了个白眼。“不可能！这个体系是从和加法一样明白无误的公理得出的结
果，无法绕过。我可以担保。”
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