只用直尺和圆规能等分一个角吗 古希腊有三大作图问题:(一)三等分任意大的一个角;(二)绘制体积是给 予的立方体一倍的立方体;(三)绘制面积与给予的圆相等的正方形。 但是,并不是用什么方法都行,条件是只用直尺和圆规,也就是说只能利用直 线和圆。 如果用比圆复杂的曲线,就可以解决第一个和第二个问题,也可以三等分一个 直角。因此,再进一步用、、……的方法逐渐分割,然后适当地加以组合,就可以 取得任意一个角都非常近似于1/3 的角。第三个问题,也可以通过用正多边形与圆 内接或外切的方法,取得近似的面积。这些解决方法,古希腊时代就已经想到了。 但是,希腊人的理想是,只用直尺和圆规绝对准确而不是近似地解决这些问题。 2000 多年来,无数人想攻克这些问题,但没有一个人成功。取得成功的报告不少, 但仔细一调查,不是演算有错误,就是骗人。 1837 年,美国数学家P ·L ·旺采尔(1818~1848)严密地证明,第一个问 题只用直尺和圆规是绝对解决不了的。他使用代数方程式表示图形的解析几何学的 方法,研究了只使用直尺和圆规绘制的图形可以用何种方程式表达的问题。 结果,他证明,只有次数是二的倍数的方程式,如2 、4 、8 、16、32…… 等,才能只用直尺和圆规绘制图形。 就是说,可以用二次式、四次式等表示的图形,才能用直尺和圆规作图,而三 次式不能作图。但是,角的三等分,却是与三次式相对应的作图。因此,不管作多 大努力也是徒劳的。 旺采尔同时还证明,第二个问题也不可能解决。就是说,与第二个作图相对应 的方程式是x3-2=0,这也是三次式,所以,不能作图。 第三个问题,到1882 年,德国的C ·L ·F ·林德曼(1852~1939 年)解 决了。他证明,把圆变成正方形,绝对需要通过作图求出圆周率π的值。林德曼证 明,不存在根是π的代数方程式。不但次数不存在,说起来连方程式本身都不存在, 所以,不言而喻,只用直尺和圆规是不能作图的。 就这样,古代遗留下来的三大作图问题,都以不能作图的结果得到了解决。虽 然如此,至今还不断有人埋头钻研这些作图问题。 -------- 泉石书库