阿兰·贝克 高斯的名字是众所周知的。他很小就掌握了1 +2 +3 +? +100 的心算法。 这是连小学生都津津乐道的关于他童年生活的一个传说。作为十八、十九世纪之间 最伟大的数学家, 高斯的一大贡献是彻底改变了数论这一学科的面貌。他20 岁时 写的《算术探究》被誉为开创了数论的一个新纪元。 在当代,也有一位年轻人,人们说他“在数论中引起了自高斯以来最深刻的变 化”。的薄薄的只有128 页的著作《超越数论》被认为能与高斯的《算术探究》相 媲美。1970 年他走上了尼斯国际数学家大会的主席台,成为一名菲尔兹奖的获得 者。他就是英国的阿兰·贝克。 贝克是在英国土生土长的。1939 年8 月19 日他生于伦敦,童年时期生不逢 时,正值第二次世界大战时期,整个伦敦被希特勒的飞机炸得天昏地暗。 战后,贝克顺利就学,在结束了中等教育之后,于1958 年进入大学。 贝克先是在伦敦大学学院学习,1961 年又到剑桥三一学院求学。英国的数论 开山祖哈代虽然早已辞世,但伦敦、剑桥两地的数论学派仍然号称一世之雄:达文 泡特先后坐镇剑桥、伦敦;罗斯因丢番图逼近的工作得到1958年菲尔兹奖贝克对数 论研究的兴趣,可以肯定地说受到了这个学派的深刻影响,而贝克到剑桥,正是做 了达文泡特的研究生。 当时五十多岁的达文泡特,是英国现代数论学派承前启后的人物。他和世界上 许多主要的数论工作者交往密切,又为英国培养了一代又一代的年轻数学家。但是 在他的所有学生里,贝克跟随他的方式多少有点奇怪:贝克大部分时间是自闯天地, 只是不时把一些写好的论文让达文泡特过目。照其他的内行人看来,贝克实际上受 达文泡特的影响不大,对贝克影响很深的倒是马勒——一个在纳粹时期从德国流亡 到英国的数论学家。 但是达文泡特还是为有这么一个学生而高兴。因为从1962 年起,特别是1966 年以后,贝克像魔术师一样把一个又一个重要成果拿了出来,使得“观众”目瞪口 呆。截至1974 年为止,他发表的重要论文已不下40 篇,而人们还一点估计不出 这个青年数学家还会再走多远。 数论,是一个极其古老的分支。留至现代的一大批未解决的数论问题,至少都 经历过无数学者几百年的求索而不得其解,这些果子的坚硬程度可想而知。数论的 方法虽然越来越精巧,但要提出一些崭新的思想却决非易事,这块园地已被耕耘过 无数遍了。 但是贝克在这十年多一点的时间里,解决了数论中十几个历时已久的困难问题, 范围涉及超越数论、不定方程、代数数论。概括一下,他的贡献是给出了一种“有 效方法”。 “有效”是什么意思?让我们举不定方程为例。一个方程如果未知数多于一个, 而又只考察其整数解的话,这个方程就称为不定方程,又称丢番图方程。对于这种 方程,二千多年来人们虽然发展了许多精巧的方法,但所解决的问题却仍然十分零 散,很少有关于一类方程的统一解法。数学家们对于这样一个一个地攻克堡垒的方 式早已厌烦,很自然地会提出,会不会有一种普遍适用的方法,能在有限步运算下 决定一个不定方程是否有解?这就是著名的希尔伯特第十个问题。可以说,20 世 纪的不定方程论其重点是寻求一般的解法。 对于希尔伯特第十个问题,1970 年前苏联的马蒂雅斯维奇利用美国数学家罗 宾逊、戴维斯和普特南的工作结果给出了否定的解决,就是说能够用于一切不定方 程的判定方法是不存在的。这个结果轰动一时。虽然没有一种方法可以适用于解一 切不定方程,但就一类方程来讲还是有一些一般的结果。 事实上1909 年,瑟厄就给出过一个最早也是最有名的一般性定理:“任何二 元整系数不可分解齐次多项式f (x ,y )构成的方程f (x ,y )=m,只有有限 组解。”可以看出,由于(X ,y )的限制较少,这个定理确实概括了一批不定方 程的解的性状。 但是瑟厄和随后的西格尔定理、罗斯定理都有一个致命的弱点,就是没有办法 有效计算。贝克正是突破了这一点。比如说,对于瑟厄定理,贝克进一步证明了这 有限个解(x ,y )都满足max (|x |,|y |)<ce(logm)h ’,其中k > f(x,y )的次数。而最重要的是,c 是可以有效算出的。也就是说,对于二元方 程,贝克肯定地解决了希尔伯特第十个问题。 贝克的所有工作都是从超越数论开始的。其核心是一个线性型定理。 什么是超越数?简单地说,一个实数如果不是代数方程的根就称为超越数,反 之,就称为代数数。古希腊三大作图难题之一“化圆为方”问题,正是由于证明了 π的超越性而宣告不可用尺规完成。e ,π,的超越性获证是19 世纪中超越数论 的代表成就。本世纪30 年代时,前苏联的盖尔芳德和德国的施奈德各自独立地解 决了希尔伯特第七个问题的后一半:对于任意代数数a (≠0 ,1 )和任意代数无 理数β(≠0 ),aB 是超越数。他俩建立的这座超越数论的丰碑,使得后来的30 年里,没有任何成果可以超出其右。人们意识到,老方法已经用尽,得寻觅新路了。 新路就是贝克走出来的。他在60 年代里得出了一系列关于代数数对数的线性 型的定理。我们可以看看其中典型的一个:a1,a2,? ,an,(a ≥l )是非0 代 数数,loga1 ,loga2 ,? ,logan 在有理数域上线性独立,令β0 ,? ,βn 是 不全为0 的满足一些条件的数,那么对任何k >n +1 ,有|β0 +β1logal+β 2loga2+……+βnlogan|>ce- (logH)h ,其中c 是可以有效计算的。 定理叙述不甚艰深,证明却极为困难,而用途也异常广泛。应用这一套定理和 方法,贝克在数论的各个分支里取得了辉煌的成果,例如(1 )不定方程方面。除 前述之外,比较著名的有定出了y2=x3 +k (k ≠0 )整数解的上界。 (2 )超越数论方面。证明了如果a1,a2,? ,an 是代数数(非0 或1 ); β0 ,β2 ,? ,βn 是线性独立的代数无理数,则e β0aβ11?aβnn 是超越数。 这就是使得盖尔冯德的结果成为简单的特例。 (3 )二次数域方面。解决了高斯时代留下的一个老问题,肯定了类数为1 的 虚二次数域只有九个。 任何一个数学家,只要解决了上述问题中的一个,20 世纪的数学史就得提到 他的名字。而贝克却一下子做了十几项这样的工作。 无怪乎1970 年的菲尔兹奖要授与他。他的老师逝世之前就知道了贝克将被提 名,显得特别高兴。可惜达文泡特1969 年就逝世了,没有亲眼见到贝克的获奖。 贝克从1964 年起就是剑桥三一学院的研究员。他使得这个古老大学的数学传 统增添了生气。1973 年贝克成为皇家学会会员,1975 年贝克得到了亚当斯奖, 直接原因就是本文开头时提到的那本薄薄的《超越数论》。 《超越数论》总结了他自己十几年的研究成果,但贝克本人认为,这本书毋宁 说是对于本世纪来这个分支发展情况的一个总汇。在序言里贝克写了这么一段话, 从中可以看出他的风度与抱负: “尽管它(指超越数论)有悠久的历史,但还是青春焕发。通过更深入的研究, 许多课题必将取得进展,同时还有一些著名问题仍待解决。作为例子,我们只要提 一下e ,π的代数独立性和欧拉常数Y 的超越性这几个著名的猜想就行了。这些猜 想中的任何一个如果获得解决,都将标志着巨大的进展。如果这本书能对促进未来 的发展起到一点微小的作用,那么作者也就感到满足了。” -------- 泉石书库